Eine bedingte Wahrscheinlichkeit beantwortet eine engere Frage als eine einfache Wahrscheinlichkeit: Wie wahrscheinlich ist Ereignis A, wenn du bereits weißt, dass B eingetreten ist? Der bekannte Fallraum wird dadurch kleiner. Du rechnest also nicht mehr mit allen ursprünglichen Möglichkeiten, sondern nur mit denen, die die Bedingung erfüllen. In diesem Ratgeber lernst du, den neuen Nenner zu bestimmen, „und“ von „gegeben“ zu unterscheiden, Baumdiagramme zu lesen und Ergebnisse zu prüfen. Alle Beispiele sind selbst entwickelte Zulassungscoach-Übungen. Die HSG nennt offiziell quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen; sie bestätigt keine konkrete Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit.
Was „gegeben, dass“ mathematisch bedeutet
Die Schreibweise (P(A\mid B)) bedeutet „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“. Der senkrechte Strich steht für die Information, die bereits bekannt ist. Für Ereignisse mit (P(B)>0) gilt:
[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. ]
Im Zähler steht die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten. Im Nenner steht die Wahrscheinlichkeit der Bedingung B. Anschaulich schrumpft der Ergebnisraum auf B; darin zählst du, welcher Anteil zusätzlich A erfüllt.
Diese Deutung ist wichtiger als das Auswendiglernen der Formel. Viele Fehler entstehen, weil im Nenner weiter die Gesamtzahl aller Fälle verwendet wird. Frage deshalb vor jeder Rechnung: „Was weiß ich bereits?“ Genau diese Information begrenzt den neuen Bezugsraum.
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen lesen
Eine Kreuztabelle ordnet Beobachtungen nach zwei Eigenschaften. Zeilen- und Spaltensummen geben die Randwerte an; die Zelle an ihrem Schnitt enthält die gemeinsame Gruppe. Achte immer darauf, ob nach einer gemeinsamen Gruppe oder nach einem Anteil innerhalb einer Zeile oder Spalte gefragt wird.
Zulassungscoach-Übung 1: In einer fiktiven Lerngruppe arbeiten 40 Personen mit Lernkarten, 30 davon bestehen eine Übungsprüfung. Weitere 60 Personen arbeiten ohne Lernkarten, 30 davon bestehen. Insgesamt gibt es 100 Personen und 60 Bestehende. Tabelle in Worten: Mit Karten: 30 bestanden, 10 nicht bestanden, 40 gesamt. Ohne Karten: 30 bestanden, 30 nicht bestanden, 60 gesamt.
Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Lernkarten bestanden hat. Die Bedingung „mit Lernkarten“ beschränkt den Nenner auf 40. Günstig sind 30. Also (P(\text{bestanden}\mid\text{Karten})=30/40=75%). Der falsche Nenner 100 würde 30 Prozent liefern; das beantwortet stattdessen die Frage, welcher Anteil der gesamten Gruppe sowohl Karten nutzte als auch bestand.
„Und“ ist nicht dasselbe wie „gegeben“
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit (P(A\cap B)) fragt, welcher Anteil des ursprünglichen Ergebnisraums sowohl A als auch B erfüllt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit (P(A\mid B)) fragt, welcher Anteil innerhalb von B zusätzlich A erfüllt. Die erste verwendet den gesamten Raum als Nenner, die zweite nur B.
Im Beispiel oben ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von „Karten“ und „bestanden“ (30/100=30%). Die bedingte Wahrscheinlichkeit von „bestanden, wenn Karten“ ist (30/40=75%). Beide Zahlen sind korrekt, aber sie beantworten verschiedene Fragen.
Zulassungscoach-Übung 2: Ein fiktiver Kurs hat 24 Teilnehmende, darunter 9 Personen mit Vorkenntnissen. Von diesen 9 lösen 6 eine Zusatzaufgabe richtig. „Vorkenntnisse und richtig“ hat Anteil (6/24=25%) an allen Teilnehmenden. „Richtig, gegeben Vorkenntnisse“ hat Anteil (6/9=2/3), rund 66,7 Prozent. Markiere im Text, was nach dem Wort „gegeben“ kommt: Das ist der bedingende Nenner.
Die Vier-Schritte-Methode
Erstens benennst du Ereignis A und Bedingung B kurz und eindeutig. Zweitens bestimmst du die Größe der eingeschränkten Gruppe B. Drittens zählst du darin die Fälle, die zugleich A erfüllen. Viertens berechnest du den Quotienten und formulierst die Antwort mit der Bedingung erneut.
Diese letzte Formulierung verhindert, dass du die Aussage überdehnst. „75 Prozent der Personen mit Lernkarten bestanden“ ist nicht dasselbe wie „Lernkarten erhöhen die Bestehenswahrscheinlichkeit um 75 Prozent“. Für eine Ursache-Wirkungs-Aussage reicht eine beobachtete Tabelle nicht. Sie zeigt Zusammenhänge in der gegebenen Gruppe, nicht automatisch warum sie entstanden sind.
Baumdiagramme und Pfadregeln
Bei mehrstufigen Vorgängen zeigt ein Baum mögliche Schritte. Die Wahrscheinlichkeit entlang eines vollständigen Pfads berechnest du durch Multiplikation der jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten. Wenn mehrere getrennte Pfade zum gesuchten Ereignis führen, addierst du ihre Pfadwahrscheinlichkeiten.
Zulassungscoach-Übung 3: Eine fiktive Maschine produziert 60 Prozent blaue und 40 Prozent rote Karten. Eine Prüfung erkennt 90 Prozent der blauen Karten korrekt und 80 Prozent der roten Karten korrekt. Die Wahrscheinlichkeit für „blau und korrekt erkannt“ ist (0{,}60\cdot0{,}90=0{,}54). Für „rot und korrekt erkannt“ ist sie (0{,}40\cdot0{,}80=0{,}32). Insgesamt werden (0{,}54+0{,}32=0{,}86), also 86 Prozent, korrekt erkannt.
Nun sei bekannt, dass eine Karte korrekt erkannt wurde. Wie wahrscheinlich war sie blau? Der neue Nenner ist 0,86; der blaue und korrekt erkannte Pfad ist 0,54. Somit (P(\text{blau}\mid\text{korrekt})=0{,}54/0{,}86\approx62{,}8%). Die Gegenprobe: Der rote Anteil unter den korrekten Fällen ist 0,32/0,86 ≈ 37,2 Prozent; beide bedingten Anteile summieren sich zu 100 Prozent.
Bedingung rückwärts aktualisieren
Manchmal kennst du ein beobachtetes Ergebnis und willst daraus auf die zugrunde liegende Gruppe schließen. Dafür verwendest du dieselbe Quotientenlogik: gemeinsame Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Bedingung. Das Beispiel mit der Maschine zeigt, weshalb eine hohe Trefferquote innerhalb einer Gruppe nicht automatisch dieselbe Wahrscheinlichkeit nach einem positiven Ergebnis bedeutet. Auch die Häufigkeit der Gruppen zählt.
Zulassungscoach-Übung 4: Von 100 fiktiven Bauteilen sind 10 fehlerhaft. Ein Prüfgerät erkennt 9 von 10 fehlerhaften Teilen, meldet aber auch 18 von 90 guten Teilen fälschlich als fehlerhaft. Insgesamt meldet es 27 Teile als fehlerhaft; davon sind 9 tatsächlich fehlerhaft. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit „tatsächlich fehlerhaft, gegeben Meldung“ (9/27=1/3), nicht 90 Prozent. Die 90 Prozent beschreiben eine andere Bedingung: Anteil erkannter Fehler unter allen fehlerhaften Teilen.
Diese Aufgabe ist kein Beleg für ein reales Prüfgerät. Sie veranschaulicht nur, wie Grundhäufigkeit und Fehlalarme zusammenwirken. Schreibe bei Kennzahlen stets aus, welcher Nenner gemeint ist.
Unabhängigkeit prüfen statt voraussetzen
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn die Information über das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Formal gilt dann (P(A\mid B)=P(A)), sofern (P(B)>0). Unabhängigkeit ist eine mathematische Eigenschaft, nicht bloß die Aussage, dass Ereignisse in einer Geschichte unterschiedlich klingen.
Zulassungscoach-Übung 5: Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Für den zweiten Wurf ändert der erste Wurf die Chance auf Kopf nicht: (P(\text{Kopf beim zweiten}\mid\text{Kopf beim ersten})=1/2). Die Münze hat kein Gedächtnis. Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ist das anders: Wenn eine rote Kugel entfernt wurde, ändert sich die Zusammensetzung für die nächste Ziehung. Ein einfacher Vergleich wäre nur mit neuem Nenner möglich.
Verwechsle Unabhängigkeit nicht mit gegenseitigem Ausschluss. Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen, können nicht gleichzeitig auftreten. Wenn A bereits eingetreten ist und B dadurch unmöglich wird, kann B nicht unabhängig von A sein, außer in einem Sonderfall mit Wahrscheinlichkeit null. Zeichne bei Unsicherheit eine kleine Tabelle oder einen Baum.
Häufige Fehler und Gegenproben
Der häufigste Fehler ist der falsche Nenner. Lies die Bedingung hinter dem senkrechten Strich und setze genau deren Anzahl oder Wahrscheinlichkeit in den Nenner. Ein zweiter Fehler ist, eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit mit einer bedingten zu verwechseln. Prüfe dann: Wird der Anteil an allen Fällen oder nur an der Teilgruppe verlangt?
Als Gegenprobe muss (P(A\mid B)) zwischen 0 und 1 liegen. Wenn A innerhalb von B alle Fälle umfasst, ist der Wert 1; wenn kein Fall aus B auch A erfüllt, ist er 0. Wenn du die bedingten Anteile einer vollständigen Aufteilung von B addierst, sollte 1 herauskommen.
Bei einer Kreuztabelle summieren sich Zellen zur jeweiligen Zeilensumme und Spaltensumme. Kontrolliere die Randsummen, bevor du den Quotienten bildest. Bei einem Baum müssen alle Abzweigwahrscheinlichkeiten an einem Knoten zusammen 1 ergeben. Solche Strukturprüfungen finden Fehler, bevor Rundungen hinzukommen.
Gemischtes Übungsset
Aufgabe A: 20 Personen wählen morgens Tee, 12 davon trinken ihn ohne Zucker. Wie groß ist der Anteil „ohne Zucker, gegeben Tee“? (12/20=60%).
Aufgabe B: In einer Gruppe von 50 Personen sind 15 Linkshänder, darunter 6 Personen mit Brille. „Linkshänder und Brille“ bezogen auf alle: (6/50=12%). „Brille, gegeben Linkshänder“: (6/15=40%).
Aufgabe C: Ein fiktiver Ausgang kann A mit Wahrscheinlichkeit 0,7 oder B mit 0,3 sein. Ein Signal tritt bei A in 0,8 der Fälle und bei B in 0,2 der Fälle auf. Wahrscheinlichkeit für Signal: (0{,}7\cdot0{,}8+0{,}3\cdot0{,}2=0{,}62). Anteil A unter den Signal-Fällen: (0{,}56/0{,}62\approx90{,}3%).
Aufgabe D: Wenn A und B unabhängig sind, gilt (P(A\mid B)=P(A)). Bei (P(A)=0{,}4) bleibt der bedingte Wert 0,4; dies folgt aus der Unabhängigkeitsannahme.
Aufgabe E: Von 8 roten und 2 blauen Karten wird eine gezogen. Wahrscheinlichkeit rot, gegeben nicht blau: Alle nicht blauen Karten sind rot, also 1.
Transfer auf Tabellen und neue Kontexte
Die Methode funktioniert mit Noten, Produktgruppen, Befragungen oder Diagnosen, sofern die Daten und Auswahlregeln klar sind. Verändere bei einer Übung die Bedingung und beobachte, wie sich der Nenner ändert. Zum Beispiel kann dieselbe Tabelle Fragen „bestanden, gegeben Gruppe X“, „Gruppe X, gegeben bestanden“ und „Gruppe X und bestanden“ beantworten. Drei ähnliche Formulierungen können drei verschiedene Quotienten verlangen.
Übe deshalb nicht nur Formeln, sondern Antwortsätze. Sage zuerst, welche Grundgesamtheit du betrachtest, dann nenne Zähler und Nenner. Falls die Daten Beobachtungen beschreiben, bleib bei dieser Gruppe. Übertrage ein Ergebnis nicht ohne Beleg auf alle Bewerbenden, Jahrgänge oder Situationen.
Eine gute Gegenprobe beginnt mit den absoluten Häufigkeiten: Die Zahl in der Schnittmenge darf weder die Zahl der Fälle mit A noch die Zahl der Fälle mit B übersteigen. Liegt eine berechnete bedingte Wahrscheinlichkeit außerhalb des Intervalls von null bis eins, ist sicher mindestens ein Schritt falsch. Kontrolliere dann zuerst den Nenner, bevor du die gesamte Rechnung wiederholst.
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