Der Median ist der mittlere Wert einer der Größe nach sortierten Liste. Er teilt die Beobachtungen in eine untere und eine obere Hälfte; einzelne sehr große oder kleine Werte verschieben ihn oft weniger als den arithmetischen Mittelwert. Für eine Aufgabe musst du zuerst sortieren, dann die Anzahl der Werte zählen und erst anschließend den mittleren Rang bestimmen. Für den HSG-Online-Eignungstest sind Median und Ausreißer hier eigenständige Rechenübungen: Die HSG bestätigt quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen als Testbereiche, aber keine konkrete Liste offizieller Einzelaufgabentypen.
Was der Median aussagt
Bei einer ungeraden Zahl von Beobachtungen ist der Median genau der mittlere Wert. Bei einer geraden Anzahl ist er üblicherweise der Mittelwert der beiden mittleren Werte. Für 2, 5, 7, 9, 40 ist der Median 7. Für 2, 5, 7, 9 ist er (5 + 7) / 2 = 6. Der Median muss bei einer geraden Anzahl also kein tatsächlich beobachteter Wert sein.
Der Median beantwortet eine Rangfrage: Welcher Wert liegt in der Mitte, nachdem alle Fälle geordnet sind? Er beantwortet nicht automatisch die Frage nach dem Durchschnitt aller Beobachtungen. Das Wort „typisch“ kann im Alltag verschiedene Dinge meinen; in einer präzisen Rechnung solltest du unterscheiden, ob Median, Mittelwert oder häufigster Wert gefragt ist.
Sortieren, zählen, mittlere Position bestimmen
Bei einer sortierten Liste mit n Werten liegt die mittlere Position bei ungeradem n an Stelle (n + 1) / 2. Bei geradem n sind es die Positionen n/2 und n/2 + 1; deren arithmetischer Mittelwert ist der Median. Sortiere vollständig, bevor du Positionen bestimmst. Ein häufiges Versehen ist, den Wert in der Mitte der unsortierten Darstellung zu nehmen.
Zulassungscoach-Übung 1: Messwerte: 12, 4, 9, 15, 7. Sortiert: 4, 7, 9, 12, 15. Es sind fünf Zahlen, daher ist der dritte Wert der Median: 9. Die ursprüngliche Reihenfolge spielt keine Rolle. Der Mittelwert beträgt 47/5 = 9,4. Beide Größen liegen nah beieinander, sind aber nicht identisch.
Zulassungscoach-Übung 2: Bearbeitungszeiten in Minuten: 8, 12, 5, 20, 11, 14. Sortiert: 5, 8, 11, 12, 14, 20. Es gibt sechs Werte; die zwei mittleren sind 11 und 12. Der Median ist 11,5 Minuten. Der Mittelwert ist 70/6 ≈ 11,67 Minuten. Bei kleinen Abständen wirken Median und Mittelwert ähnlich, doch das muss nicht so bleiben.
Warum Ausreißer den Mittelwert stärker bewegen
Ein Ausreißer ist eine Beobachtung, die deutlich vom übrigen Datenmuster abweicht. Der Begriff ist zunächst beschreibend; er beweist weder einen Messfehler noch, dass der Wert ignoriert werden darf. Weil der Mittelwert alle Werte addiert, kann ein einzelner Extremwert ihn stark verschieben. Der Median hängt vor allem an der Rangposition und bleibt daher häufig stabiler.
Zulassungscoach-Übung 3: Die Lieferzeiten lauten 10, 11, 12, 12 und 15 Tage. Der Mittelwert ist 60/5 = 12 Tage, der Median ebenfalls 12. Nun kommt eine verspätete Lieferung mit 50 Tagen hinzu. Sortiert stehen sechs Werte: 10, 11, 12, 12, 15, 50. Der Median ist (12+12)/2 = 12. Der Mittelwert steigt auf 110/6 ≈ 18,33 Tage. Der Extremwert verändert die Summe stark, aber nicht die Mitte.
Die Aussage lautet nicht „Median ist immer besser“. Wenn jeder Fall gleich relevant ist und die gesamte Summe interessiert, kann der Mittelwert genau die gewünschte Größe sein. Wenn du die typische Lage bei schiefen Verteilungen beschreiben willst, ist der Median oft informativ. Die Aufgabenformulierung entscheidet, welche Kennzahl zählt.
Ausreißer erkennen, ohne sie willkürlich zu entfernen
Ein Wert wirkt auffällig, wenn er weit vom Großteil der Daten entfernt liegt. Bei kleinen Listen reicht ein visueller oder numerischer Vergleich, aber es gibt keine allgemeingültige Schwelle, die aus jeder Liste einen Ausreißer macht. In Statistik kann man Regeln wie den Interquartilsabstand verwenden; eine konkrete Regel muss jedoch angegeben oder zum Lernziel passen. Erfinde keine Grenze, wenn die Aufgabe nur nach Median oder Mittelwert fragt.
Zulassungscoach-Übung 4: Werte: 21, 22, 23, 24, 25, 80. Die ersten fünf liegen eng zusammen, 80 fällt deutlich auf. Der Median bei sechs Werten ist (23+24)/2 = 23,5. Der Mittelwert ist 195/6 = 32,5. 80 ist ein plausibler auffälliger Wert, doch aus den Zahlen allein folgt nicht, ob er fehlerhaft ist. Eine saubere Antwort kann sagen: „Der Mittelwert wird nach oben gezogen; der Median bleibt nahe der Mehrzahl der Werte.“
Falls du entscheiden sollst, ob ein Fall ausgeschlossen wird, brauchst du einen sachlichen Grund: etwa dokumentierter Eingabefehler oder ein vorab festgelegtes Ausschlusskriterium. Ein Wert darf nicht allein deshalb entfernt werden, weil er das gewünschte Ergebnis stört. Bei einer Rechenaufgabe ohne Ausschlussregel werden grundsätzlich alle angegebenen Beobachtungen einbezogen.
Median aus Häufigkeitstabellen bestimmen
Bei einer Häufigkeitstabelle steht jeder Wert mit seiner Anzahl. Schreibe nicht zwingend alle Zeilen einzeln aus; bilde kumulierte Häufigkeiten und bestimme, wo die mittlere Position liegt. Bei 20 Beobachtungen liegen die mittleren Positionen 10 und 11. Eine kumulierte Häufigkeit von 12 beim Wert 6 zeigt, dass beide Positionen spätestens dort erreicht sind.
Zulassungscoach-Übung 5: Eine Tabelle enthält Punkte: 2 Punkte zweimal, 4 Punkte fünfmal, 6 Punkte fünfmal und 9 Punkte zweimal. Insgesamt sind es 14 Werte. Die mittleren Positionen sind 7 und 8. Bis Wert 2 sind es 2 Fälle; bis 4 sind es 7; bis 6 sind es 12. Position 7 ist 4, Position 8 ist 6. Der Median ist (4+6)/2 = 5. Er kommt in der Tabelle selbst nicht vor, was bei einer geraden Anzahl korrekt ist.
Eine kumulierte Tabelle macht auch Fehler sichtbar: Die letzte Summe muss der Gesamtzahl entsprechen. Wenn sie nicht passt, fehlt eine Kategorie oder eine Häufigkeit wurde falsch addiert. Prüfe außerdem, ob die Klasse als Wertebereich statt Einzelwert angegeben ist. Bei gruppierten Intervallen lässt sich der exakte Median nicht immer ermitteln; du kannst nur das Intervall bestimmen, in dem er liegt, sofern keine Zusatzannahmen gegeben sind.
Median in Gruppen und Tabellen richtig lesen
Manchmal zeigt eine Tabelle den Median getrennt nach Regionen oder Zeiträumen. Ein Gesamtmedian lässt sich nicht einfach als Mittel der Gruppenmediane berechnen. Dazu benötigst du mindestens die Verteilung aller Einzelwerte oder hinreichend genaue Häufigkeitsangaben. Medianwerte sind keine addierbaren Gruppensummen.
Zulassungscoach-Übung 6: Gruppe A hat Median 10 bei 5 Fällen. Gruppe B hat Median 30 bei 5 Fällen. Daraus folgt nicht, dass der Gesamtmedian 20 ist. Eine mögliche sortierte Gesamtliste wäre 1, 10, 10, 10, 100, 20, 30, 30, 30, 200; sortiert ergibt sich 1, 10, 10, 10, 20, 30, 30, 30, 100, 200. Der Gesamtmedian ist (20+30)/2 = 25. Andere Listen mit denselben Gruppenmedianen könnten einen anderen Gesamtmedian ergeben. Gruppengröße und Median reichen nicht zur eindeutigen Bestimmung.
Bei einer Diagrammfrage darfst du einen Median nicht mit einem Mittelwert verwechseln, nur weil beide als Kennzahl erscheinen. Lies die Legende, den Titel und mögliche Fußnoten. Ein Boxplot zeigt typischerweise Median und Quartile, aber konkrete Darstellungshinweise müssen aus der Legende stammen. Für Grundlagen zu Diagrammskalen hilft der separate Ratgeber zu Achsen und Skalen.
Median, Mittelwert und Spannweite vergleichen
Kennzahlen beantworten verschiedene Fragen. Der Mittelwert nutzt alle Werte, der Median markiert die Mitte der Rangfolge, die Spannweite misst den Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert. Ein Ausreißer kann Mittelwert und Spannweite stark verändern, den Median dagegen wenig. Diese Kombination hilft, eine Verteilung knapp zu beschreiben.
Zulassungscoach-Übung 7: Datensatz A: 4, 5, 6, 7, 8. Datensatz B: 4, 5, 6, 7, 28. Beide haben Median 6. Die Spannweiten sind 4 beziehungsweise 24. Mittelwerte: A = 6, B = 10. Der gleiche Median bedeutet nicht, dass die Verteilungen gleich sind. Datensatz B enthält einen weit entfernten oberen Wert.
Wenn die Frage lautet „Welcher Datensatz ist robuster gegenüber einem einzelnen Extremwert?“, passt der Median als Lagekennzahl. Wenn sie lautet „Wie weit liegen die Randwerte auseinander?“, passt die Spannweite. Ein einzelner Kennwert beschreibt nie alle Eigenschaften einer Verteilung.
Häufige Fehler und ihre Reparatur
Fehler eins: die mittlere Zahl aus einer unsortierten Liste nehmen. Reparatur: immer zuerst aufsteigend ordnen. Fehler zwei: bei einer geraden Zahl nur einen mittleren Wert auswählen. Reparatur: die beiden mittleren Positionen markieren und mitteln. Fehler drei: den Median aus einer Häufigkeitstabelle durch einen ungewichteten Mittelwert der Kategorien ersetzen. Reparatur: Häufigkeiten kumulieren. Fehler vier: einen auffälligen Wert ohne Auftrag entfernen. Reparatur: alle angegebenen Beobachtungen berücksichtigen und Ausschlüsse nur mit expliziter Regel vornehmen.
Eine schnelle Gegenprobe ist die Rangposition. Bei fünf Werten müssen zwei Werte unterhalb und zwei oberhalb des Medians stehen, sofern Bindungen berücksichtigt sind. Bei sechs Werten müssen zwei mittlere Werte die Positionen drei und vier besetzen. Wenn dein Ergebnis nicht an dieser Stelle liegt, ist meist die Sortierung oder Zählung falsch.
Fehlerdiagnose: Du erhältst bei den Werten 3, 3, 5, 7, 100 den Median 5 und den Mittelwert 23,6. Beide Ergebnisse können stimmen. Wenn eine Antwortoption 23,6 als Median anbietet, wurde vermutlich der Mittelwert berechnet. Wenn 7 als Median erscheint, war wahrscheinlich die Liste nicht korrekt sortiert oder die Position falsch gezählt. Prüfe erst die Kennzahl, dann den Rechenweg.
Transfer und HSG-Einordnung
Die Technik hilft bei Tabellen mit Verteilungen, bei Textangaben mit Rangfolgen und bei Datensätzen, in denen ein einzelner Fall den Durchschnitt verändert. Übe sie mit selbst erstellten Zahlen, damit du nicht eine bestimmte Darstellung auswendig lernst. Die HSG beschreibt einen computerbasierten Eignungstest von insgesamt 70 Minuten mit den Bereichen quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen. Sie bestätigt keine bestimmte Median- oder Ausreißeraufgabe.
Verbinde diese Methode bei Bedarf mit gewichteten Durchschnitten, um zu entscheiden, wann Fallzahlen beim Mittelwert mitzählen, und mit Spannweite und Streuung, um die Streuung jenseits der Mitte zu betrachten. Der Beitrag zu Tabellen-Bezugsgrößen behandelt die passende Bezugsgruppe, nicht die Rangposition.
Dein nächster Schritt
Schreibe eine Liste mit sieben Zahlen auf, verändere anschließend nur den größten Wert stark und berechne beide Male Median und Mittelwert. Wiederhole das mit einer Häufigkeitstabelle, ohne alle Werte auszuschreiben. Erkläre bei jedem Ergebnis, welche Frage die Kennzahl beantwortet. Dieser Wechsel von Liste zu Tabelle prüft, ob du die Methode übertragen hast.
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