Die Spannweite ist der größte Wert minus dem kleinsten Wert. Sie beschreibt die gesamte Breite eines Datensatzes, aber nicht, wie die Werte dazwischen verteilt sind. Zwei Gruppen können dieselbe Spannweite und dennoch sehr unterschiedliche Streuung haben. Für die Vorbereitung auf quantitative Datenfragen empfehlen wir daher: zuerst Minimum und Maximum finden, dann die Lage der übrigen Werte vergleichen und erst danach eine Aussage über „gleichmäßig“, „eng“ oder „stark gestreut“ treffen. Alle Übungen hier sind selbst entwickelte Beispiele. Die HSG bestätigt die Testbereiche quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen, aber keine konkreten Streuungsaufgaben.
Spannweite: die einfachste Streuungskennzahl
Berechne Spannweite = Maximum − Minimum. Bei 4, 6, 9, 11 beträgt sie 11 − 4 = 7. Sie hat dieselbe Einheit wie die Messwerte: bei Minuten also Minuten, bei Euro also Euro. Die Spannweite nutzt nur die beiden Randwerte und ignoriert alle dazwischenliegenden Beobachtungen.
Das macht die Kennzahl leicht verständlich, aber empfindlich gegenüber Extremwerten. Wird der größte Wert plötzlich sehr groß, wächst die Spannweite auch dann, wenn der Rest der Liste unverändert bleibt. Deshalb reicht die Spannweite allein nicht, um die typische Abweichung aller Werte zu beschreiben.
Zulassungscoach-Übung 1: Wartezeiten lauten 6, 8, 9, 12 und 15 Minuten. Minimum 6, Maximum 15, Spannweite 9 Minuten. Der Mittelwert beträgt 10 Minuten. Die Spannweite sagt nicht, dass jede Person neun Minuten wartet oder dass die Werte gleichmäßig verteilt sind. Sie benennt ausschließlich den Abstand der beiden Randwerte.
Randwerte finden, ohne sich von der Reihenfolge täuschen zu lassen
Sortieren ist ein zuverlässiger Weg, Minimum und Maximum zu identifizieren. Bei kleinen Tabellen genügt es, die Randwerte systematisch abzusuchen. Achte auf negative Zahlen: Das Maximum ist der numerisch größte Wert, also etwa −2 statt −8. Der Abstand zwischen ihnen ist −2 − (−8) = 6, nicht −10.
Zulassungscoach-Übung 2: Tagesänderungen: −8, 3, −2, 5, 1. Der kleinste Wert ist −8, der größte 5. Die Spannweite lautet 5 − (−8) = 13 Einheiten. Eine verbreitete Falle besteht darin, den Betrag von −8 und 5 zu addieren, ohne zu verstehen, warum das hier 13 ergibt: Es klappt nur, weil der kleinste Wert negativ und der größte positiv ist. Liegen beide Werte auf derselben Seite der Null, führt das zu einem falschen Resultat. Schreibe immer die Subtraktion mit Klammern.
Falls die Tabelle gerundete Werte enthält, ist auch die daraus berechnete Spannweite nur so genau wie die Ausgangsdaten. Bei Klassenintervallen wie „10 bis unter 20“ kennst du die exakten Einzelwerte nicht. Eine exakte Spannweite kann dann aus den Angaben allein nicht folgen. Beschreibe stattdessen den möglichen Bereich oder die begrenzte Information.
Gleiche Spannweite, andere Verteilung
Vergleiche zwei Listen: A = 2, 3, 4, 5, 10; B = 2, 2, 3, 9, 10. Beide reichen von 2 bis 10 und haben die Spannweite 8. In A liegen drei mittlere Werte relativ verteilt, in B häufen sich zwei Werte an den Rändern. Die gemeinsame Spannweite bedeutet nicht, dass die Daten gleichmäßig verteilt sind.
Zulassungscoach-Übung 3: Satz A: 10, 12, 14, 16, 18. Satz B: 10, 10, 14, 18, 18. Beide haben Spannweite 8 und Mittelwert 14. Doch A ist gleichmäßig um 14 verteilt; in B liegen die Randwerte mehrfach vor und es gibt keine Beobachtung zwischen 14 und den beiden Randpaaren. Die Kennzahlen Minimum, Maximum und Mittelwert unterscheiden diese Muster nicht vollständig.
Für eine belastbarere Beschreibung kannst du zusätzlich Median oder Quartile betrachten. Der Median zeigt die Mitte; Quartile teilen die sortierten Beobachtungen in Bereiche. Diese Kennzahlen sind jedoch nur dann zu berechnen, wenn die Aufgabe Definition oder passende Daten liefert. Für einzelne kurze Rechenfragen reicht oft der gezielte Vergleich von Randwerten und Häufung.
Ausreißer und die empfindliche Spannweite
Weil nur zwei Werte in die Spannweite eingehen, kann ein einzelner Ausreißer sie stark vergrößern. Nehmen wir 8, 9, 10, 11, 12: Spannweite 4. Ersetzen wir 12 durch 40, beträgt sie 32. Die übrigen Werte bleiben gleich. Eine große Spannweite kann also durch einen einzigen Extremwert entstehen und muss nicht bedeuten, dass alle Fälle weit auseinanderliegen.
Zulassungscoach-Übung 4: Punktzahlen 42, 44, 45, 47, 88. Spannweite = 88 − 42 = 46. Der Wert 88 ist auffällig hoch. Ohne zusätzliche Information darfst du ihn aber nicht streichen. Mit allen Werten ist die Spannweite 46; ohne 88 wäre sie 5. Die zwei Ergebnisse beantworten verschiedene Fragen: beobachtete Gesamtbreite versus hypothetische Breite ohne Extremwert.
Wenn du Median und Spannweite gemeinsam liest, erkennst du oft mehr. Im Beispiel liegt der Median bei 45, während die Spannweite 46 beträgt. Das deutet darauf hin, dass die Randdifferenz im Verhältnis zur Mitte groß ist. Daraus folgt noch keine Ursache; es ist eine Beschreibung des Datensatzes.
Spannweite aus einem Diagramm ablesen
In einer Grafik ist das sichtbare Ende einer Linie nur dann ein Zahlenwert, wenn du Achse, Skalierung und Einheit gelesen hast. Bei einer Achse von 0 bis 100 mit Schritten von 20 liegt ein Punkt zwischen Markierungen nicht automatisch exakt auf einer Zahl. Lies keine Scheingenauigkeit aus der Bildposition ab. Für einen Überblick zu Skalenfehlern gibt es den eigenständigen Ratgeber Diagrammachsen und Skalen.
Zulassungscoach-Übung 5: Eine fiktive Säulengrafik zeigt Werte 30, 45, 55 und 70 Teilnehmende. Die Spannweite ist 70 − 30 = 40 Teilnehmende. Ein zweites Diagramm zeigt dieselben vier Fälle als Prozentanteile 30 %, 45 %, 55 % und 70 %. Die numerische Spannweite beträgt nun 40 Prozentpunkte. Das Ergebnis ist nicht „40 Prozent“; bei Differenzen zwischen Quoten wird die Einheit in Prozentpunkten angegeben.
Wenn die Werte in verschiedenen Reihen oder auf verschiedenen Achsen liegen, darfst du ihre Extreme nicht beliebig zusammenziehen. Eine Reihe kann in Euro, eine andere in Prozent gemessen werden. Eine Spannweite über gemischte Einheiten ist sinnlos. Lies die Legende und prüfe, ob alle verglichenen Daten zur selben Größe gehören.
Spannweite bei Zeitreihen richtig einordnen
Eine Zeitreihe kann über einen Zeitraum schwanken. Ihre Spannweite ist höchster minus niedrigster beobachteter Wert. Diese Maßzahl zeigt den gesamten beobachteten Korridor, verrät aber nicht, wann das Maximum auftrat, wie lange ein Extremwert bestand oder ob ein Trend vorlag.
Zulassungscoach-Übung 6: Monatliche Nachfrage: 120, 135, 128, 160, 150. Die Spannweite beträgt 160 − 120 = 40 Einheiten. Die Reihe steigt nicht in jedem Monat; zwischen 135 und 128 fällt sie. Der Gesamtunterschied zwischen höchstem und niedrigstem Punkt ist kein Beleg für stetiges Wachstum. Für Veränderung zwischen Zeitpunkten sind Start, Ende und Zwischenverlauf getrennt zu prüfen.
Ein häufiger Fehler ist, Spannweite mit Veränderung vom ersten zum letzten Zeitraum gleichzusetzen. Wenn eine Zeitreihe bei 100 beginnt, zwischendurch 150 erreicht und bei 110 endet, ist die End-zu-Start-Veränderung 10, die Spannweite jedoch 50. Die Frage bestimmt, welches Paar relevant ist.
Streuung als Abstand vom Zentrum
Im weiteren Sinn beschreibt Streuung, wie weit Beobachtungen um einen typischen Wert verteilt sind. Der Mittelwert oder Median dient als Zentrum; verschiedene Kennzahlen messen Abstände auf verschiedene Weise. Die Spannweite schaut nur auf Randpunkte. Der Interquartilsabstand betrachtet typischerweise die mittleren 50 Prozent. Varianz und Standardabweichung berücksichtigen Abstände aller Werte, verlangen aber eine genaue Definition und mehr Rechenarbeit.
Zulassungscoach-Übung 7: Datensatz A: 9, 10, 10, 10, 11. Datensatz B: 6, 8, 10, 12, 14. Beide Mittelwerte sind 10. A liegt sehr nah an der Mitte, B weiter entfernt. Spannweiten: A = 2, B = 8. Hier genügt die Spannweite, um den Unterschied zu zeigen. Bei komplizierteren Verteilungen kann eine einzige Kennzahl trotzdem wesentliche Muster verdecken.
Die Varianz berechnet sich aus quadrierten Abständen zum Mittelwert und deren Durchschnitt (je nach Kontext mit unterschiedlichem Nenner); die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Diese Begriffe sind fachlich nützlich, aber nicht automatisch notwendiger Lernstoff für einen Eignungstest. Wenn eine Aufgabe nicht nach ihnen fragt oder keine Formel vorgibt, konzentriere dich auf die aus den Daten sicher ableitbare Größe.
Praktische Rechenroutine
- Fragewort markieren: „Spannweite“, „größter Unterschied“, „Änderung“ oder „Streuung“ können Verschiedenes meinen.
- Einheit und Datenreihe identifizieren.
- Minimum und Maximum ermitteln.
- Maximum minus Minimum rechnen.
- Einheit und Plausibilität prüfen.
Die fünfte Zeile ist wichtig: Eine Spannweite muss null oder positiv sein. Ist sie negativ, hast du wahrscheinlich Minimum und Maximum vertauscht. Bei Prozentanteilen lautet die Einheit Prozentpunkte; bei Zeitwerten Minuten, bei Entfernungen Kilometer. Rechne nicht weiter, wenn die Werte aus unterschiedlichen Reihen oder Bezugsgruppen stammen.
Zulassungscoach-Übung 8: Eine Tabelle nennt die Tagesumsätze 230, 190, 210, 250 Euro. Minimum 190, Maximum 250, Spannweite 60 Euro. Ein zweiter Betrieb hat Umsätze 80, 140, 200, 260 Euro. Auch dort beträgt sie 180 Euro. Daraus folgt eine größere Gesamtbreite der beobachteten Umsätze, aber nicht zwingend ein höherer Durchschnitt: Der Mittelwert des ersten Betriebs ist 220 Euro, der des zweiten 170 Euro. Spannweite und Lage sind getrennte Fragen.
Fehlerdiagnose: Streuung oder Lage?
Wenn eine Aufgabe fragt, welcher Datensatz „größere typische Werte“ hat, vergleiche Lagekennzahlen wie Mittelwert oder Median. Fragt sie nach größerer Spannweite, suche Randwerte. Fragt sie nach gleichmäßigerer Verteilung, reicht die Spannweite oft nicht; prüfe die mittleren Werte oder eine ausdrücklich genannte Streuungskennzahl. Achte auf Worte wie „zwischen“, „im Mittel“, „Abstand der Extremwerte“ und „pro Jahr“.
Schreibe deinen Fehler mit einer konkreten Ursache auf: „Ich nahm den letzten Zeitpunkt statt Maximum“, „ich verglich unterschiedliche Einheiten“ oder „ich nannte eine Prozentpunktdifferenz Prozent“. Bei jeder neuen Aufgabe suchst du zuerst nach demselben Signal. Das macht die nächste Wiederholung gezielt und verhindert, dass du bloß dieselbe Formel erneut abschreibst.
Transfer auf Tabellen und neue Kontexte
Spannweiten lassen sich in Preislisten, Zeiten, Messwerten und Anteilen berechnen. In einer Kreuztabelle musst du aber zuerst auswählen, ob sich die Spannweite auf Zeilenwerte, Spaltenwerte oder eine bestimmte Teilgruppe bezieht. Eine aggregierte Gesamttabelle kann Randwerte verschiedener Kategorien enthalten, die nicht sinnvoll vergleichbar sind. Für diese Nenner- und Gruppenauswahl siehe Tabellen-Bezugsgrößen.
Der Beitrag Median und Ausreißer vertieft, warum ein Extremwert manche Kennzahlen stärker beeinflusst als andere. Gewichtete Durchschnitte helfen beim Zusammenfassen ungleich großer Gruppen. Hier bleibt die Leitfrage enger: Welche Randwerte definieren die Breite, und was verrät diese Breite gerade nicht?
HSG-Kontext und nächster Schritt
Die HSG nennt im Online-Eignungstest quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen; der Test dauert laut Auswahlseite insgesamt 70 Minuten. Die folgende Übungsserie ist keine Behauptung über offizielle Aufgaben. Nutze den offiziellen Demo-Link, um die Testoberfläche und dort gezeigte Beispiele kennenzulernen, und diese selbst entwickelten Aufgaben, um die Grundrechnung flexibel zu üben.
Erstelle heute zwei Datensätze mit gleicher Spannweite, aber unterschiedlicher Verteilung. Berechne danach jeweils Minimum, Maximum, Spannweite, Median und Mittelwert. Markiere, welche Kennzahl sich beim Einfügen eines Extremwerts ändert. Wenn du anschließend in einem Satz erklärst, welche Information fehlt, sobald nur die Spannweite genannt wird, hast du die Methode sinnvoll übertragen.
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