Ein lineares Gleichungssystem löst du, indem du zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllst. Der wichtigste Schritt ist, nicht vorschnell eine Gleichung isoliert zu lösen: Erst die Verbindung beider Gleichungen bestimmt beide unbekannten Werte. Für dein Training zum quantitativen Problemlösen im Online-Eignungstest der Universität St.Gallen (HSG) zeigen wir ein klares Vorgehen mit Einsetzungs- und Additionsverfahren, Gegenproben und typischen Fehlern. Die HSG nennt offiziell die Bereiche „quantitatives Problemlösen“ sowie „Diagramme und Tabellen“; sie veröffentlicht keine Liste, die lineare Gleichungssysteme als konkreten Prüfungsstoff bestätigt. Alle Aufgaben hier sind eigens entwickelte Zulassungscoach-Übungen.
Was ein Gleichungssystem bedeutet
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei Gleichungen, zum Beispiel:
[ 2x+y=11,\qquad x-y=1. ]
Gesucht ist ein Wertepaar ((x,y)), das beide Gleichungen wahr macht. In diesem Beispiel ist ((4,3)) eine Lösung: (2\cdot4+3=11) und (4-3=1). Nur eine Gleichung zu erfüllen reicht nicht. Das Paar ((5,1)) erfüllt zwar die erste Gleichung, aber nicht die zweite.
„Linear“ bedeutet hier: Die Variablen kommen nur in der ersten Potenz vor, werden nicht miteinander multipliziert und stehen nicht im Nenner. Ausdrücke wie (x^2+y=8) oder (xy=12) gehören nicht zu einem linearen System. Diese Abgrenzung hilft dir, das passende Verfahren zu wählen.
Eine Lösungsroutine in fünf Schritten
Wir empfehlen eine feste Reihenfolge. Erstens markierst du die beiden Gleichungen. Zweitens suchst du eine Variable, die sich leicht isolieren oder durch Addition beseitigen lässt. Drittens führst du nur eine algebraische Operation nach der anderen aus. Viertens setzt du den gefundenen Wert in die andere Gleichung ein. Fünftens prüfst du das Wertepaar in beiden Ausgangsgleichungen.
Schreibe Zwischenschritte untereinander. Das wirkt bei kleinen Zahlen langsamer, spart aber Zeit, wenn ein Vorzeichenfehler auftaucht. Besonders nützlich ist die Beschriftung „Einsetzen in Gleichung 1“ oder „Gleichung 2 minus Gleichung 1“: Du kannst dadurch jeden Schritt rückwärts nachvollziehen.
Einsetzungsverfahren Schritt für Schritt
Das Einsetzungsverfahren passt gut, wenn eine Variable bereits allein steht oder sich mit wenig Aufwand freistellen lässt.
Zulassungscoach-Übung 1: Löse
[ y=x+2,\qquad 3x+y=18. ]
Die erste Gleichung gibt schon (y) an. Ersetze deshalb das (y) in der zweiten Gleichung durch (x+2):
[ 3x+(x+2)=18. ]
Klammer auflösen und gleichartige Terme zusammenfassen ergibt (4x+2=18). Ziehe 2 ab: (4x=16), also (x=4). Nun zurück in die erste Gleichung: (y=4+2=6). Das Paar lautet ((4,6)).
Die Gegenprobe ist kein optionaler Schönheitscheck. In Gleichung 1 gilt (6=4+2). In Gleichung 2 gilt (3\cdot4+6=18). Beide Bedingungen stimmen. Hättest du beim Einsetzen nur (x=4) notiert, wäre die Aufgabe noch nicht vollständig beantwortet.
Klammern und Vorzeichen kontrollieren
Beim Einsetzen entsteht häufig eine Klammer, deren Vorzeichen leicht verloren geht. Betrachte (y=5-2x) und (x-y=-1). Nach dem Einsetzen muss es (x-(5-2x)=-1) heißen. Das Minus vor der Klammer verändert beide Terme: (x-5+2x=-1), also (3x-5=-1) und (x=4/3). Dann ist (y=5-8/3=7/3).
Ein verbreiteter falscher Schritt lautet (x-5-2x=-1): Hier wurde das Minus nicht auf (-2x) verteilt. Eine Gegenprobe deckt das auf: (x-y=4/3-7/3=-1), die richtige Gleichung wird erfüllt. Schreibe bei einem Minus vor der Klammer lieber erst die neue Zeile vollständig aus, bevor du zusammenfasst.
Additionsverfahren: eine Variable eliminieren
Das Additionsverfahren eignet sich, wenn die Koeffizienten einer Variablen gleich oder Gegenzahlen sind. Dann addierst oder subtrahierst du die Gleichungen so, dass diese Variable verschwindet.
Zulassungscoach-Übung 2: Löse
[ 2x+3y=19,\qquad 2x-y=7. ]
Beide Zeilen enthalten (2x). Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten:
[ (2x+3y)-(2x-y)=19-7. ]
Links kürzt sich (2x-2x), und (3y-(-y)=4y). Somit ist (4y=12), also (y=3). Einsetzen in (2x-y=7) ergibt (2x-3=7), daher (x=5). Gegenprobe: (10+9=19) und (10-3=7). Die Lösung ist ((5,3)).
Beachte die Klammer beim Subtrahieren. „Zweite Zeile abziehen“ heißt, dass alle Terme der zweiten Zeile ihr Vorzeichen wechseln. Ohne die Klammer übersieht man leicht, dass aus (-y) beim Abziehen (+y) wird.
Koeffizienten zuerst passend machen
Sind die Zahlen vor einer Variablen weder gleich noch Gegenzahlen, kannst du eine oder beide Gleichungen multiplizieren. Multipliziere dabei jeden Term auf beiden Seiten mit derselben Zahl.
Zulassungscoach-Übung 3:
[ 3x+2y=16,\qquad x-2y=0. ]
Hier heben sich die (y)-Terme bereits beim Addieren auf: ((3x+2y)+(x-2y)=16+0). Also (4x=16) und (x=4). Die zweite Gleichung liefert (4-2y=0), also (y=2). Gegenprobe in der ersten Zeile: (12+4=16).
Eine kleine Änderung macht das Verfahren sichtbar: Bei (3x+2y=16) und (2x-3y=1) passen die Koeffizienten noch nicht. Multipliziere die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit 2. Dann erhältst du (9x+6y=48) und (4x-6y=2). Addieren ergibt (13x=50), somit (x=50/13). Einsetzen liefert (y=29/13). Brüche sind nicht automatisch ein Rechenfehler. Prüfe sie in den Originalgleichungen, statt sie auf eine vermeintlich „schöne“ ganze Zahl zu runden.
Graphische Bedeutung und Anzahl der Lösungen
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Eine Lösung des Systems ist der Schnittpunkt beider Geraden. Schneiden sie sich, gibt es genau eine Lösung. Sind sie parallel und verschieden, gibt es keine gemeinsame Lösung. Liegen beide Geraden vollständig übereinander, gibt es unendlich viele Lösungen.
Zulassungscoach-Übung 4: Vergleiche (2x+y=6) mit (4x+2y=12). Die zweite Gleichung ist exakt das Doppelte der ersten. Beide beschreiben dieselbe Gerade, daher erfüllt jedes passende Wertepaar beide Gleichungen; es gibt unendlich viele Lösungen. Bei (2x+y=6) und (4x+2y=10) wären die linken Seiten proportional, die rechten aber nicht. Es gibt keine Lösung.
Im Rechenverfahren erkennst du diese Fälle daran, dass nach dem Eliminieren eine unmögliche Aussage wie (0=2) oder eine immer wahre Aussage wie (0=0) entsteht. Interpretiere das Ergebnis, statt weiter nach (x) zu suchen.
Fehlerdiagnose nach dem Rechnen
Wenn dein Ergebnis nicht stimmt, suche den Fehler in vier Stufen. Stimmen die Ausgangsgleichungen korrekt abgeschrieben? Wurde beim Multiplizieren jeder Term erfasst? Ist das Vorzeichen beim Einsetzen oder Subtrahieren erhalten geblieben? Hast du den berechneten Wert in die richtige Ausgangsgleichung eingesetzt?
Unterscheide außerdem einen Algebrafehler von einem Auswahlfehler beim Verfahren. Wenn du beim Eliminieren Zahlen groß machst, obwohl eine Variable schon isoliert ist, ist das Ergebnis nicht falsch, der Weg aber unnötig fehleranfällig. Wenn die Rechnung korrekt ist, das Paar aber nur eine Zeile erfüllt, liegt ein Schrittfehler vor. Diese Diagnose macht dein Fehlerjournal brauchbar: Notiere nicht bloß „falsch“, sondern etwa „Minus vor Klammer nicht verteilt“.
Transfer: Verfahren bewusst auswählen
Zulassungscoach-Übung 5: Entscheide zuerst ohne Rechnung, welches Verfahren günstig ist:
[ x+4y=21,\qquad 2x-y=3. ]
Beide Verfahren sind möglich. Beim Einsetzen isolierst du aus der zweiten Zeile (y=2x-3) und setzt ein: (x+4(2x-3)=21). Daraus folgen (9x-12=21), (9x=33) und (x=11/3). Dann ist (y=22/3-9/3=13/3). Die Probe ergibt (11/3+4\cdot13/3=63/3=21) und (2\cdot11/3-13/3=3). Das korrekte Paar ist ((11/3,13/3)).
Beim Additionsverfahren multiplizierst du die zweite Zeile mit 4 und addierst: (8x-4y=12), zusammen mit (x+4y=21) ergibt (9x=33). Beide Wege liefern denselben Wert für (x). Diese doppelte Herleitung ist im Test nicht nötig; als Training zeigt sie dir aber, dass die Verfahren nur unterschiedliche Wege zu denselben Bedingungen sind. Bei knapper Zeit wählst du anschließend den kürzeren Weg.
Ein kurzes gemischtes Übungsset
Aufgabe A: (x+y=10), (x-y=2). Addieren ergibt (2x=12), also (x=6); dann (y=4). Probe: 10 und 2.
Aufgabe B: (y=3x-1), (2x+y=14). Einsetzen: (5x-1=14), also (x=3) und (y=8). Probe: (6+8=14).
Aufgabe C: (x+2y=5), (2x+4y=12). Verdopplung der ersten linken Seite ergäbe 10, nicht 12. Die Bedingungen widersprechen sich; keine Lösung.
Aufgabe D: (3x+6y=9), (x+2y=3). Die erste Gleichung ist das Dreifache der zweiten. Es gibt unendlich viele Lösungen, etwa ((3,0)) und ((1,1)), sowie weitere Punkte auf der Geraden.
Brüche, Dezimalzahlen und Ergebnisform
Ein System kann eine gebrochene Lösung haben, auch wenn die Koeffizienten ganze Zahlen sind. Runde nicht mitten im Rechenweg: Aus einem gerundeten Zwischenwert kann am Ende eine scheinbar falsche Gegenprobe entstehen. Lass Brüche möglichst exakt stehen und kürze erst, wenn es die Darstellung vereinfacht.
Zulassungscoach-Übung 6: Löse (x+y=5) und (2x-y=2). Addieren ergibt (3x=7), also (x=7/3). Die erste Gleichung liefert (y=5-7/3=8/3). Probe in der zweiten: (14/3-8/3=6/3=2). Das Wertepaar ist ((7/3,8/3)). Als Dezimalzahlen wären es periodische Werte; der exakte Bruch ist deshalb präziser.
Wenn eine Antwortoption nur Dezimalwerte zeigt, kannst du am Ende passend runden. Behalte dabei im Blick, ob die Aufgabe ein genaues Wertepaar oder eine Näherung verlangt. Ein Ergebnis wie (x=2{,}33) ist eine Näherung zu (7/3), keine neue exakte Lösung. Schreibe bei Kontextaufgaben zusätzlich die Einheit und die Bedeutung beider Variablen aus.
Wie du den Fortschritt überprüfst
Trainiere nicht nur eine lange Serie gleicher Systeme. Mische Fälle, in denen Einsetzen schnell ist, Fälle mit direkter Elimination und Fälle ohne eindeutige Lösung. Schreibe vor jeder Rechnung in einem Satz, warum du das Verfahren gewählt hast. Danach prüfst du jede Lösung in beiden Zeilen und notierst die häufigste Fehlerart.
Ein guter Selbsttest variiert jeweils nur ein Merkmal. Löse zuerst ein System mit ganzzahligen Lösungen, dann ändere eine rechte Seite so, dass Brüche entstehen. Ändere danach eine Gleichung so, dass sie parallel zur anderen liegt. Kannst du jeweils erklären, was sich mathematisch geändert hat, verstehst du nicht bloß einen Rechentrick. Achte außerdem darauf, „Lösung“ als Wertepaar anzugeben und nicht nur den zuerst gefundenen Variablenwert. Bei einer Sachfrage kommt zum Wertepaar noch ein Antwortsatz mit den passenden Größen und Einheiten hinzu.
So entsteht Transfer: Du erkennst die Struktur auch dann, wenn Variablen anders heißen oder Koeffizienten unhandlich sind. Der offizielle HSG-Übungstest ist die passende Quelle für einen Einblick in die Testoberfläche. Unsere Systeme sind eigens entwickelte Übungen; sie versprechen keine Übereinstimmung mit konkreten HSG-Aufgaben.
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