Bei einer Ungleichung suchst du nicht immer eine einzelne Zahl, sondern alle Zahlen, die eine Bedingung erfüllen. Der entscheidende Unterschied zur Gleichung: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Danach übersetzt du die Lösung sauber in einen Zahlenstrahl oder ein Intervall. Dieser Ratgeber erklärt die Methode Schritt für Schritt. Die Universität St.Gallen (HSG) nennt offiziell quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen als Bereiche ihres Online-Eignungstests; sie veröffentlicht keine bestätigte Liste einzelner Aufgabenarten. Alle folgenden Beispiele sind selbst entwickelte Zulassungscoach-Übungen und keine originalen HSG-Aufgaben.
Gleichung und Ungleichung unterscheiden
Eine Gleichung wie (x+3=7) hat hier den einzelnen Wert (x=4). Eine Ungleichung wie (x+3<7) ist für alle Werte kleiner als 4 wahr. Es gibt unendlich viele Lösungen. Das Lösungszeichen beschreibt eine Ordnung: (<) heißt kleiner, (>) größer, (\leq) kleiner oder gleich und (\geq) größer oder gleich.
Bei einer strengen Ungleichung darf der Randwert nicht dazugehören. Bei (x<4) ist 4 ausgeschlossen; bei (x\leq4) gehört 4 dazu. Diese kleine Unterscheidung entscheidet, ob du eine offene oder geschlossene Intervallgrenze schreibst.
Äquivalente Schritte beim Umformen
Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, ohne das Zeichen zu ändern. Dasselbe gilt für Multiplikation oder Division mit einer positiven Zahl. Zum Beispiel wird (3x-5<10) durch Addition von 5 zu (3x<15), anschließend durch Division durch 3 zu (x<5).
Prüfe nach jedem Schritt, ob du tatsächlich auf beiden Seiten dieselbe Operation ausgeführt hast. Anders als bei einer Gleichung gibt es eine zusätzliche Regel für negative Faktoren, die wir gleich gesondert behandeln. Wenn du Variablen auf beiden Seiten sammelst, schreibe die Umformung in einer eigenen Zeile auf, statt mehrere Vorzeichenwechsel im Kopf zu erledigen.
Die Vorzeichenregel bei negativen Faktoren
Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, kehrt sich die Ordnung um. Aus (2<5) wird nach Multiplikation mit (-1) die wahre Aussage (-2>-5), nicht (-2<-5). Daher gilt:
[ -3x<12 \quad\Longrightarrow\quad x>-4. ]
Zulassungscoach-Übung 1: Löse (7-2x\leq15). Ziehe zuerst 7 ab: (-2x\leq8). Teile durch (-2) und drehe das Zeichen um: (x\geq-4). Gegenprobe: Für (x=0) gilt (7\leq15), also ist eine Zahl im Lösungsbereich; für (x=-5) ergibt sich 17, und (17\leq15) ist falsch. Der Randwert (-4) liefert 15 und gehört wegen (\leq) dazu.
Ein häufiger Fehler ist, durch eine negative Zahl zu teilen und das Zeichen stehenzulassen. Die Gegenprobe mit einer einfachen Zahl zeigt ihn oft schneller als eine zweite lange Rechnung.
Zahlenstrahl richtig lesen
Auf einem Zahlenstrahl liegen größere Zahlen weiter rechts. Die Aussage (x>2) umfasst daher alle Punkte rechts von 2. Ein offener Kreis bei 2 bedeutet, dass der Randwert nicht dazugehört; ein ausgefüllter Punkt steht für einen eingeschlossenen Randwert.
Zulassungscoach-Übung 2: Stelle (-1<x\leq4) dar. Bei (-1) steht ein offener, bei 4 ein geschlossener Punkt; markiert wird der Abschnitt dazwischen. In Intervallschreibweise ist das ((-1,4]). Die runde Klammer schließt die Grenze aus, die eckige ein. Manche Lehrwerke verwenden dafür auch die Notation (]-1,4]); die Bedeutung ist dieselbe. Bleib in einer Aufgabe bei der dort verwendeten Schreibweise.
Ein Test deiner Darstellung: Wähle eine Zahl innerhalb und je eine außerhalb des Intervalls. 0 liegt darin; -2 und 5 liegen außerhalb. Prüfe, ob deine Markierung genau diese drei Fälle abbildet.
Zwei Bedingungen gleichzeitig: Schnittmenge bilden
Wenn mehrere Ungleichungen gleichzeitig gelten sollen, nimmst du den gemeinsamen Bereich. „Und“ bedeutet Schnittmenge. Bei (x>1) und (x\leq5) ist die Lösung (1<x\leq5), also ((1,5]). Beide Bedingungen müssen erfüllt sein.
Zulassungscoach-Übung 3: Gesucht ist ein Wert, der (x\geq-2) und (x<3) erfüllt. Markiere beide Bereiche auf demselben Zahlenstrahl. Gemeinsame Werte liegen von -2 einschließlich bis 3 ausschließlich: ([-2,3)). Prüfe mit -2, 0 und 3: Die ersten beiden Werte erfüllen beide Bedingungen, 3 scheitert an (x<3).
„Oder“ bedeutet dagegen Vereinigung. Für (x<-1) oder (x>2) besteht die Lösung aus zwei getrennten Bereichen: (( -\infty,-1)\cup(2,\infty)). Die Zeichen (\cup) und „und“ dürfen nicht verwechselt werden. Bei „oder“ reicht eine der Bedingungen; bei „und“ müssen beide stimmen.
Ungleichungen mit Klammern und Brüchen
Klammern löst du wie bei Gleichungen auf, behältst aber das Ungleichheitszeichen bei, solange du nicht mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.
Zulassungscoach-Übung 4: Löse (2(3-x)>4). Ausmultiplizieren ergibt (6-2x>4). Subtrahiere 6: (-2x>-2). Division durch -2 kehrt um: (x<1). Probe: Für 0 ist die ursprüngliche linke Seite (2(3-0)=6), also größer als 4; die Aussage ist wahr. Für 2 ergibt sich links 2, also falsch. Der Randwert 1 ergibt 4 und ist wegen (>) ausgeschlossen.
Bei Brüchen kannst du mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren, wenn sein Vorzeichen bekannt ist. Ist der Nenner unbekannt und könnte positiv oder negativ sein, darfst du nicht blind multiplizieren, denn im negativen Fall müsste das Zeichen umdrehen. In einfachen Aufgaben ist es oft sicherer, zunächst die Vorzeichenbereiche zu betrachten oder den Nenner zu entfernen, nachdem du weißt, dass er positiv ist.
Doppelungleichungen als eine zusammenhängende Aussage
Eine Schreibweise wie (2<3x+1\leq10) enthält zwei Bedingungen: (2<3x+1) und (3x+1\leq10). Du führst die Operation auf allen drei Teilen gleichzeitig aus, wenn die Operation die Ordnung erhält.
Zulassungscoach-Übung 5: Ziehe überall 1 ab: (1<3x\leq9). Teile durch 3, eine positive Zahl: (1/3<x\leq3). Das Intervall ist ((1/3,3]). Prüfe die Randwerte: Bei (x=1/3) ist der linke Ausdruck genau 2 und verletzt die strenge Grenze; bei (x=3) ist er 10 und erfüllt die rechte inklusive Grenze.
Wenn eine Doppelungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, kehren sich beide Teilzeichen um und die Reihenfolge der äußeren Grenzen muss weiterhin stimmen. Schreibe im Zweifel beide Einzelungleichungen getrennt aus. So vermeidest du, dass nur ein Zeichen umgedreht wird.
Betragsungleichungen als Abstand verstehen
Der Ausdruck (|x-a|) beschreibt den Abstand von (x) zur Zahl (a). Bei (|x-3|<2) liegt (x) weniger als 2 Einheiten von 3 entfernt. Das bedeutet (1<x<5), also ((1,5)). Für (|x-3|\leq2) sind die Randwerte enthalten.
Zulassungscoach-Übung 6: Löse (|x+1|\geq3). Der Abstand zu -1 ist mindestens 3. Das gilt links von -4 einschließlich oder rechts von 2 einschließlich: (( -\infty,-4]\cup[2,\infty)). Zur Kontrolle: -5 und 3 erfüllen die Bedingung; 0 hat nur Abstand 1 und erfüllt sie nicht. Bei „mindestens“ entstehen zwei äußere Bereiche, bei „höchstens“ typischerweise ein inneres Intervall.
Diese Abstandsdeutung ist oft anschaulicher als eine Fallunterscheidung. Wenn du eine Fallunterscheidung nutzt, denke daran, dass sich der Betrag je nach Vorzeichen des inneren Ausdrucks anders auflöst.
Fehlerdiagnose mit Gegenproben
Wenn deine Lösung falsch wirkt, kontrolliere zuerst, ob du beim Teilen oder Multiplizieren mit einer negativen Zahl das Zeichen gedreht hast. Danach prüfst du Randpunkte: Gehören sie laut Zeichen dazu? Bei mehreren Bedingungen testest du, ob ein Wert wirklich jede Bedingung erfüllt. Zum Schluss prüfst du die Richtung auf dem Zahlenstrahl: Ist bei (x>4) der markierte Bereich rechts?
Eine Gegenprobe benötigt normalerweise nur drei Werte: einen möglichen Randwert, einen Wert im behaupteten Lösungsbereich und einen außerhalb. Du musst nicht alle Zahlen einsetzen. Wähle einfache Werte, die das Vorzeichen klar machen. Bei Intervallen mit Brüchen eignen sich etwa der Mittelpunkt und Werte knapp unter oder über einer Grenze.
Notiere deinen Fehler präzise: „Randwert bei (<) eingeschlossen“, „Negativdivision nicht umgedreht“ oder „Schnitt statt Vereinigung“. Dann passt die nächste Übung direkt zur Denkstelle, an der du noch unsicher bist.
Gemischte Aufgaben mit vollständigen Lösungen
Aufgabe A: (5x+2\geq17). Subtrahiere 2 und teile durch 5: (x\geq3). Probe: 3 ergibt Gleichheit; 4 erfüllt die Aussage.
Aufgabe B: (4-3x<10). Subtrahiere 4: (-3x<6). Teile durch -3 und drehe um: (x>-2). Probe mit 0: 4 < 10; mit -3: 13 < 10 ist falsch.
Aufgabe C: (-2\leq x+1<6). Subtrahiere 1: (-3\leq x<5), also ([-3,5)).
Aufgabe D: (x\leq0) oder (x>4). Lösung: (( -\infty,0]\cup(4,\infty)). Der Wert 0 gehört dazu, 4 nicht.
Aufgabe E: (3<2x-1\leq9). Addiere 1 und teile durch 2: (2<x\leq5), also ((2,5]).
Randwerte und Unendlichkeit sauber notieren
Unendlichkeit ist kein erreichbarer Randpunkt. Deshalb steht bei (-\infty) oder (\infty) immer eine runde Klammer, auch wenn der übrige Ausdruck eine inklusive Grenze hat. Zum Beispiel bedeutet (x\geq2) das Intervall ([2,\infty)). Eine eckige Klammer bei unendlich wäre mathematisch unpassend.
Zulassungscoach-Übung 7: Löse (4x+1>9). Es folgt (4x>8), also (x>2), in Intervallschreibweise ((2,\infty)). Der Wert 2 selbst erfüllt die Ausgangsungleichung nicht, denn (4\cdot2+1=9) und gesucht war „größer als 9“. Der Wert 3 erfüllt sie. Diese Grenzwertprobe trennt eine offene Grenze zuverlässig von einer geschlossenen.
Transfer in neue Aufgaben
Bei unbekannten Formulierungen übersetze zuerst das logische Verhältnis: „höchstens“ bedeutet (\leq), „mindestens“ (\geq), „zwischen“ kann je nach Randwortlaut offen oder geschlossen sein. Markiere diese Wörter, bevor du rechnest. Der Lösungsweg folgt dann den vertrauten algebraischen Schritten.
Variiere deine Übung bewusst: löse dieselbe Ungleichung einmal algebraisch und einmal durch Einsetzen ausgewählter Werte, um die Richtung zu verstehen. Erfinde anschließend eine ähnliche Aufgabe mit umgekehrtem Vorzeichen und sage vor der Rechnung voraus, ob links oder rechts vom Grenzwert die Lösung liegt. Wenn Vorhersage, Rechnung und Gegenprobe übereinstimmen, ist der Transfer gelungen.
Einordnung für deine HSG-Vorbereitung
Die offiziellen Informationen der HSG nennen einen Online-Eignungstest mit den Bereichen quantitatives Problemlösen sowie Diagramme und Tabellen. Eine einzelne Themenliste zu Ungleichungen oder Intervallen wird dort nicht als Prüfungsstoff zugesichert. Verwende diesen Beitrag deshalb als allgemeines Mathematiktraining. Die Beispiele sind redaktionell erstellt und nicht aus der HSG-Demo übernommen.
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