Wenn mehrere Personen oder Maschinen gleichzeitig an derselben Aufgabe arbeiten, addierst du ihre Arbeitsraten, sofern sie parallel und unabhängig zum gleichen Gesamtziel beitragen. Eine Rate beschreibt den erledigten Anteil pro Zeiteinheit. Sind Person A und B gemeinsam gesucht, gilt daher: gemeinsame Rate = Rate A + Rate B. Die gemeinsame Zeit für eine vollständige Arbeit ist der Kehrwert dieser Rate. Dieser Ratgeber erklärt das Modell samt Voraussetzungen und Gegenproben. Alle Beispiele sind eigens erstellte Trainingsaufgaben, keine offiziellen HSG-Aufgaben.
Für den Online-Eignungstest nennt die Universität St.Gallen die Bereiche „Quantitatives Problemlösen“ und „Diagramme und Tabellen“. Konkrete Arbeitsraten-Situationen werden damit nicht als offizielle Aufgabentypen bestätigt. Die folgenden Aufgaben sind Zulassungscoach-Übungen zu allgemeinen mathematischen Beziehungen.
Was eine Arbeitsrate ausdrückt
Eine Arbeitsrate misst, welcher Teil einer festgelegten Gesamtarbeit pro Zeit fertig wird. Wenn eine Person eine Aufgabe in 6 Stunden erledigt, beträgt ihre Rate 1/6 der Arbeit pro Stunde. Zwei Personen mit Raten 1/6 und 1/3 Arbeit pro Stunde schaffen zusammen 1/2 Arbeit pro Stunde. Unter konstanten Bedingungen benötigen sie für eine ganze Arbeit daher 2 Stunden.
Die Einheit ist beispielsweise „Aufträge pro Stunde“, „Arbeit pro Tag“ oder „Anteil der Aufgabe pro Minute“. Entscheide zuerst, was als eine vollständige Arbeit zählt. Ohne festgelegtes Ganzes ist eine Rate nicht eindeutig: 20 Seiten pro Stunde können ein Buchkapitel schnell füllen, sagen aber ohne Seitenumfang nicht, wann das ganze Buch fertig ist.
Von der Alleinzeit zur Rate
Wenn eine Person eine ganze Arbeit in t Zeiteinheiten erledigt, ist ihre Rate 1/t Arbeit pro Zeiteinheit. Ist die Rate r bekannt, beträgt die Zeit für eine Arbeit 1/r. Bei konstanter Leistung hängen Rate und Zeit also umgekehrt zusammen: Doppelte Rate bedeutet halbe Zeit, sofern Aufgabenmenge und Rahmenbedingungen gleich bleiben.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 1: Ein Teammitglied erstellt einen Bericht allein in 8 Stunden. Welchen Anteil schafft es in 3 Stunden gleichmäßiger Arbeit? Die Rate beträgt 1/8 Bericht pro Stunde. In 3 Stunden entsteht 3 × 1/8 = 3/8 des Berichts. Gegenprobe: In 8 Stunden wären es 8 × 1/8 = 1 vollständiger Bericht. Das Resultat liegt zwischen 0 und 1 und ist kleiner als die ganze Arbeit, wie zu erwarten.
Wenn du eine Restarbeit berechnen sollst, ziehst du den erledigten Anteil von 1 ab. Nach 3 Stunden bleiben 1 − 3/8 = 5/8. Der Bruch ist oft übersichtlicher als ein frühzeitig gerundeter Prozentwert. Falls eine Antwort in Prozent verlangt wird, kannst du am Ende 3/8 = 37,5 Prozent umwandeln.
Raten paralleler Helfer addieren
Wenn mehrere Personen zur selben Zeit an getrennten, kompatiblen Teilen der Arbeit arbeiten, summierst du ihre Anteile pro Stunde. Hat Person A eine Alleinzeit von 4 Stunden und Person B eine Alleinzeit von 6 Stunden, ist die gemeinsame Rate 1/4 + 1/6 = 5/12 Arbeit pro Stunde. Die benötigte Zeit lautet 1 ÷ 5/12 = 12/5 = 2,4 Stunden, also 2 Stunden 24 Minuten.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 2: Zwei Drucker erledigen denselben Auftrag unabhängig voneinander. Der erste schafft ihn allein in 10 Minuten, der zweite in 15 Minuten. Wie lange brauchen beide zusammen? Raten: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 Auftrag pro Minute. Zeit: 1 ÷ 1/6 = 6 Minuten. Gegenprobe: In sechs Minuten druckt der erste 6/10 = 0,6 des Auftrags, der zweite 6/15 = 0,4. Zusammen ist 1 Auftrag fertig.
Du addierst nicht die Alleinzeiten 10 + 15. Zeitangaben sind keine Beiträge pro Minute; erst die Raten messen den gleichzeitigen Fortschritt auf einer gemeinsamen Skala. Wenn die Helfenden sich gegenseitig behindern oder ein Arbeitsschritt auf den vorherigen warten muss, ist die Addition nicht ohne Anpassung zulässig.
Unterschiedliche Mengen statt „eine Arbeit“
Bei realen Aufgaben können die Arbeitseinheiten unterschiedlich groß sein. Bevor du Raten vergleichst, musst du den Umfang definieren. Wenn eine Maschine 30 Teile pro Stunde herstellt und eine zweite 20 Teile pro Stunde, ist die gemeinsame Rate 50 Teile pro Stunde, wenn beide denselben kompatiblen Teiltyp fertigen können. Bei unterschiedlichen Produkten brauchst du gegebenenfalls eine Umrechnung in standardisierte Arbeitseinheiten.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 3: Zwei Teams prüfen eine Liste. Team A kontrolliert 24 Einträge pro Stunde, Team B 16. Wie lange brauchen sie zusammen für 200 Einträge? Gemeinsame Rate: 40 Einträge pro Stunde. Zeit: 200/40 = 5 Stunden. Gegenprobe: A prüft 24 × 5 = 120, B 16 × 5 = 80; insgesamt 200 Einträge.
Einheiten helfen hier besonders: Einträge/Stunde addiert sich sinnvoll zu Einträge/Stunde. Wenn Team B stattdessen 16 Seiten pro Stunde liest und die Seiten unterschiedlich viele Einträge enthalten, sind die Raten noch nicht kompatibel. Wandle sie in eine gemeinsame Einheit um oder erkläre, warum das nicht möglich ist.
Reihenfolge und Abhängigkeiten beachten
Eine gemeinsame Rate ist nur dann die passende Idee, wenn beide Helfenden zeitgleich produktiv sind und ihre Beiträge zusammengeführt werden können. Manche Prozesse laufen dagegen nacheinander: Eine Person schreibt den Entwurf, eine andere kann erst danach redigieren. Hier verkürzt parallele Arbeit nicht automatisch die Gesamtdauer. Du musst Prozessschritte als Folge modellieren.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 4: Eine Aufgabe hat zwei Pflichtphasen: Vorbereitung dauert 2 Stunden; danach kann die Auswertung 1 Stunde dauern. Zwei Personen können jeweils die gesamte Vorbereitungsphase parallel übernehmen, sodass sie weiterhin 2 Stunden benötigt; für die anschließende Auswertung braucht es nochmals 1 Stunde. Gesamtdauer: 3 Stunden. Gegenprobe: Die Auswertung beginnt erst nach der Vorbereitung, also können die Zeiten nicht addiert und durch zwei geteilt werden.
Eine andere Aufgabe ist parallelisierbar: Vier gleich große Dokumente werden unabhängig voneinander bearbeitet. Wenn zwei gleich schnelle Mitarbeitende jeweils zwei Dokumente übernehmen, kann die Bearbeitungszeit ungefähr halbiert werden. Die Annahme gleicher Dokumentlängen und keiner Koordinationskosten ist dabei entscheidend. In Textaufgaben erkennst du solche Voraussetzungen an Formulierungen wie „gleichzeitig“, „unabhängig“ und „gleiche Leistung“.
Wenn Personen zu verschiedenen Zeitpunkten starten
Berechne zuerst, wie viel Arbeit bis zum späteren Start bereits erledigt wurde. Ziehe diesen Anteil von der Gesamtarbeit ab und teile den Rest durch die danach gemeinsame Rate. So bleiben Gesamtarbeit, Alleinphase und gemeinsame Phase sauber getrennt.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 5: Person A braucht allein 6 Stunden. Sie arbeitet 2 Stunden vor, dann kommt Person B dazu, die allein 3 Stunden brauchen würde. Wie viel Zeit arbeiten beide anschließend gemeinsam? A erledigt zunächst 2 × 1/6 = 1/3 der Arbeit; übrig sind 2/3. Gemeinsame Rate: 1/6 + 1/3 = 1/2 Arbeit pro Stunde. Zeit für den Rest: (2/3) ÷ (1/2) = 4/3 Stunden = 1 Stunde 20 Minuten. Gegenprobe: A trägt in der gemeinsamen Phase 2/9 bei, B 4/9; zusammen 6/9 = 2/3. Mit dem Vorlauf 1/3 ist die Arbeit vollständig.
Prüfe, ob gefragt ist, wie lange die gesamte Bearbeitung ab Start dauert oder wie lange die gemeinsame Phase dauert. In diesem Beispiel beträgt die Gesamtzeit ab A-Start 2 Stunden plus 1 Stunde 20 Minuten, also 3 Stunden 20 Minuten. Die beiden Antworten sind beide korrekt, aber sie beantworten unterschiedliche Fragen.
Ein Tank, ein Leck oder eine Gegenrate
Wenn eine Rate Arbeit erledigt und eine andere Rate gleichzeitig Arbeit rückgängig macht, addierst du nicht beide als positiven Fortschritt. Du legst eine Richtung fest: „vollständig erledigt“ ist positiv, „abgezogen“ negativ. Die Nettorate ist dann Zufluss minus Abfluss. Dasselbe Modell gilt für Füll- und Entleerungsraten, sofern beide dieselbe Einheit verwenden.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 6: Ein Behälter wird durch Leitung A in 4 Stunden gefüllt. Ein kleines Leck würde ihn allein in 12 Stunden leeren. Wie lange dauert das Füllen mit Leck? Nettofüllrate: 1/4 − 1/12 = 3/12 − 1/12 = 1/6 Behälter pro Stunde. Füllzeit: 6 Stunden. Gegenprobe: In 6 Stunden liefert A 6/4 = 1,5 Behälter, das Leck lässt 6/12 = 0,5 entweichen. Netto bleibt 1 Behälter.
Ist die Leckrate genauso groß wie die Zuflussrate, bleibt der Stand gleich. Ist sie größer, wird der Behälter trotz laufender Leitung nicht voll. Ein negatives Ergebnis ist in diesem Sinn ein Hinweis, dass das Vorzeichen oder die angenommene Richtung überprüft werden muss.
Fehlerdiagnose: Welche Modellannahme ist gebrochen?
Ein häufiger Rechenfehler ist, Zeiten statt Raten zu addieren. Der zweite ist, bei einem Mitarbeiterwechsel den bereits erledigten Anteil zu vergessen. Der dritte ist, die Dauer der Gesamtarbeit mit der Dauer der gemeinsamen Phase zu verwechseln. Ein vierter Fehler entsteht, wenn parallele und aufeinanderfolgende Arbeit als dieselbe Situation behandelt werden.
Bevor du rechnest, kontrolliere: Arbeiten die Helfenden gleichzeitig? Können sie unabhängige Teile erledigen? Ist ihre Leistung konstant? Ist die Aufgabe gleich groß definiert? Werden sie durch Zusammenarbeit langsamer? Wenn der Text keine gemeinsame Leistung garantiert, behandle eine Addition der Raten als Modellannahme und formuliere sie in deiner Lösung.
Ein auffällig kurzer Wert kann ebenfalls ein Hinweis sein. Zwei Personen können gemeinsam unter den beschriebenen Voraussetzungen nicht länger brauchen als die schnellere Person allein. Wenn deine Rechnung dennoch eine längere Zeit liefert, prüfe, ob du die Rate korrekt als Kehrwert gebildet hast. Die gemeinsame Zeit sollte bei positiven, addierbaren Raten sinken.
Gegenproben und Überschläge
Setze die berechnete gemeinsame Zeit in jede einzelne Rate ein. Die Summe der erledigten Teilanteile muss 1 ergeben. Bei einer Restaufgabe muss der bereits erledigte Anteil plus die später erledigte Arbeit ebenfalls 1 sein. Bei ungleichen Einheiten kann ein schneller Überschlag zeigen, ob deine Dauer in Minuten oder Stunden plausibel ist.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 7: Zwei Mitarbeitende erledigen eine Aufgabe allein in 5 beziehungsweise 20 Stunden. Gemeinsame Rate: 1/5 + 1/20 = 1/4 Aufgabe pro Stunde. Zeit: 4 Stunden. Gegenprobe: Die erste Person leistet 4/5, die zweite 4/20 = 1/5; zusammen 1. Der Wert liegt unter der schnelleren Alleinzeit von 5 Stunden und deutlich näher an ihr als an 20 Stunden.
Runde Brüche erst nach der Gegenprobe. Bei 4/3 Stunden kannst du in Minuten umrechnen, indem du 4/3 × 60 = 80 Minuten rechnest. 1,33 Stunden wären nicht 1 Stunde 33 Minuten, sondern ungefähr 1 Stunde 20 Minuten. Das Dezimalformat und das Uhrzeitformat sind auch hier verschieden.
Transfer auf quantitative Fragestellungen
Das Ratenmodell passt, wenn Fortschritt pro Zeit gemessen und überlappende Arbeit zusammengeführt wird. Es passt nicht automatisch, wenn das Ziel verschiedene Aufgabenstufen, Qualitätskontrollen oder Kapazitätsgrenzen enthält. In solchen Fällen modellierst du zuerst den Prozess: Welche Schritte laufen gleichzeitig, welche nacheinander, und welche Rate gehört zu welchem Schritt?
Diese Übungen erweitern eine allgemeine mathematische Fähigkeit. Sie sind keine Prognose darüber, was im HSG-Test vorkommt. Die offizielle HSG-Quelle beschreibt die Testbereiche, gibt aber keine vollständige Typenliste mit Arbeitsraten bekannt. Für deine Vorbereitung solltest du offizielle Informationen und Anbieterübungen klar von selbst entwickelten Übungsaufgaben unterscheiden.
Nächster Schritt
Trainiere zuerst zwei Aufgaben mit gleichzeitigen Helfenden, dann eine mit zeitversetztem Start und eine mit Zu- und Abfluss. Schreibe jedes Mal die Einheit der Rate hin und prüfe, ob die Phasen gleichzeitig oder nacheinander stattfinden. Danach eignen sich die Ratgeber zu Weg, Zeit und Geschwindigkeit als Beispiel für eine andere Rate und zum Überschlag und zur Plausibilität für unabhängige Kontrollen. Für Informationen über den Test selbst nutze die HSG-Auswahlseite.
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